L'art fractal

🕮 Définition

L'art fractal est une forme d'art algorithmique qui consiste à produire des images, des animations et même des musiques à partir d'objets fractals.

Les fractales sont des objets mathématiques et géométriques « infiniment morcelés » dont des détails sont observables à une échelle arbitrairement choisie. En zoomant sur une partie de la figure, il est possible de retrouver toute la figure ; on dit alors qu’elle est « auto similaire ».

L'art fractal s'est développé à partir du milieu des années 1980. C'est un genre d'art numérique.

Exemples

Motif mosquéeFlocon de KochEnsemble de MandelbrotEnsemble de Julia

Des figures géométriques arabes telles que celle-ci pourraient avoir préfiguré l'art fractal, comme sur le dôme principal de la mosquée Selimiye à Edirne, en Turquie, avec des motifs autosimilaires.

Flocon de Koch.
Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est :

\[ d = \frac{\ln 4} {\ln 3} \approx 1,26 \]

Mandelbrot : Suite de nombres complexes définie par récurrence par :

\[ \begin{cases} z_{0} = 0 \\\ z_{n+1} = z_{n}^2 + c \end{cases} \]

L'ensemble de Julia essentiellement caractérisé par le fait qu'une petite perturbation au départ se répercute en un changement radical de cette suite (chaos).
Gaston Julia est le mathématicien français qui en est l'auteur et il est à l'origine d'une nouvelle branche de mathématique : la dynamique holomorphe.

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📣 Introduction

L'ensemble de Julia, l'ensemble de Mandelbrot et maintenant le Mandelbulb et la Mandelbox peuvent être considérés comme les icônes de l'art fractal.

Mandelbulb | Mandelbox

L'art fractal est rarement dessiné ou peint à la main, mais plutôt créé à l'aide d'ordinateurs, lesquels sont en effet capables de calculer des fonctions fractales et d'engendrer des images à partir de ces dernières : la récursivité. C'est d'ailleurs l'apparition des ordinateurs qui a permis le développement de cet art, car il demande une grosse puissance de calcul.

Les programmes générateurs d'images fractales fonctionnent habituellement en trois étapes :
1. le réglage des paramètres qui encadrent la génération de l'image
2. l'exécution des calculs
3. l'application des résultats à un plan pour générer une image.

Pour une animation, l'opération devra être répétée pour chaque image générée.
Dans certains cas, d'autres logiciels graphiques sont ensuite utilisés pour modifier l'image produite : c'est la postproduction.
Des images non fractales peuvent aussi être intégrées à l'œuvre.

Les fractales sont générées en utilisant la méthode itérative pour résoudre des équations non linéaires ou des équations polynomiales.
L'augmentation de la puissance des ordinateurs a permis la création de logiciels permettant le calcul d'images tridimensionnelles en image de synthèse proposant ainsi les fonctions et effets habituellement réservés aux logiciels de modélisation tridimensionnelle classiques (lumières, lumières volumétriques, flou de profondeur, atmosphère, réflexion/réfraction de certains matériaux, textures, ...).

"Lost Menger Sponge" par Marc Vanlindt || "Fractal Dead Tree" par Marc Vanlindt || Impression 3D "Fractal Dead Tree"

La démarche artistique pour créer une fractale en 3D est la même que pour une fractale en 2D. Le fait que Kerry Mitchell ait écrit que l'art fractal était "un sous-groupe de l'art visuel bidimensionnel" ne signifie donc pas que les réalisations faites en 3D ne sont pas de l'art fractal mais que les fractales 3D n'existaient tout simplement pas encore en 1999 car la puissance des ordinateurs de l'époque ne le permettait pas et que personne n'avait encore produit une version tridimensionnelle de l'ensemble de Mandelbrot.

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📚 Types

Les fractales apparentées à l'art fractal peuvent être divisées en différents groupes, ou catégories :

• Les fractales dérivées de la géométrie :
  Elles sont générées en utilisant des transformations itératives sur une figure initiale simple, comme un segment ([la poussière de Cantor] (https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor) ou le flocon de Koch), un triangle (le triangle de Sierpiński), ou un cube (l'éponge de Menger). Les premières figures fractales découvertes à la fin du XIXe siècle et au début du XXe siècle appartiennent à ce groupe ;

  Cantor :
  

  Sierpiński :
  

  Menger (après 4 itération et coupée par un plan transversal :
  

• Les ensembles fractals :
  Comme l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia ou la fractale de Liapounov
  Liapounov :
  

• les systèmes de fonctions itérées :
  Exemple de la fougère de Barnsley, élaborée par un système de quatre fonctions affines
  

• les attracteurs :
  Exemple de représentation visuelle d'un attracteur étrange
  

• les flammes fractales :
  Créée par Electric Sheep | par Apophysis :

  

• les fractales appartenant au système de Lindenmayer ou L-Système :
  Comme les plantes et arbres fractales
  

• les fractales créées en itérant des polynômes complexes (sans doute les fractales les plus spéctaculaires) :
  
  

• les fractales de Newton :
  Polynômes \(p(z)=z^3-1\) et \(p(z)=z^5-1\) :
  

• les fractales quaternioniques et (récemment) hypernioniques ;

• les terrains fractales ;

• les fractales 3D :
  Mandelbulb, Mandelbox, Menger Sponge, Cube de Jerusalem, Tricorn, ...
  Cube de Jerusalem (itération 3) | Tricorn :
  

L'« expressionnisme fractal » est un terme utilisé pour différencier l'art fractal de l'art visuel traditionnel qui incorpore des éléments fractals comme des autosimilarités.
Un exemple d'expressionnisme fractal est les motifs de gouttes de Jackson Pollock. Ils ont été analysés et ils contiennent une dimension fractale qu'on a attribuée à sa technique.

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🔑 Techniques

Toutes sortes de fractales ont été utilisées comme base pour l'art numérique.
Des images colorées en haute qualité graphique sont devenues de plus en plus accessibles dans les laboratoires de recherche scientifique dans les années 1980. Des formes d'art scientifique, comme l'art fractal, se sont développées séparément de la culture dominante (= le courant de pensée ou de croyance d'une majorité, pas nécessairement cohérent). En commençant par des images montrant les détails de fractales bidimensionnelles comme l'ensemble de Mandelbrot, les fractales ont trouvé des applications artistiques dans de nombreux domaines, aussi variés de la génération de texture, la simulation de pousse de plante et la génération de paysages.

Les fractales sont parfois combinées avec des algorithmes évolutionnistes, soit en choisissant itérativement des spécimens jugés beaux dans un ensemble de variation aléatoire d'une œuvre fractale et en produisant ensemble de nouvelles variations, pour éviter d'obtenir des résultats incertains ou peu satisfaisants, ou collectivement, comme dans le projet Electric Sheep, où les gens utilisent des flammes fractales réalisées grâce au calcul distribué comme écran de veille. Ils peuvent ensuite « noter » les flammes fractales qu'ils voient et ces notes influencent le serveur qui adapte l'algorithme pour réduire les chances d'obtenir des flammes fractales jugées indésirables et augmenter les chances d'obtenir des flammes fractales désirables. Ce projet est donc une œuvre d'art générée par ordinateur et créée par une communauté entière.

Beaucoup d'images fractales sont admirées pour l'harmonie que les gens y perçoivent. Ce résultat est souvent réussi grâce aux motifs émergeant de l'équilibre entre ordre et chaos. Des qualités similaires ont été décrites dans les peintures chinoises et les penjings.

Python

Les images de fractales sont réalisables grâce à des algorithmes exécutés par des machines. Prenons le langage Python pour des exemples de codage et de rendu numérique :

Flocon de Koch

Entrée

🐍 Script Python

from turtle import *

def koch_n(n: int, longueur: int):
    speed(0)
    pencolor("blue")
    if n==0 :
        forward(longueur)
    else :
        koch_n(n-1, longueur/3)
        left(60)
        koch_n(n-1, longueur/3)
        right(120)
        koch_n(n-1, longueur/3)
        left(60)
        koch_n(n-1, longueur/3)
koch(4, 300)    

Sortie

Triangle de Sierpiński

Entrée

🐍 Script Python

from turtle import *

def sierpinski(n:int, longueur: int):
    speed(0)
    pencolor("red")
    if n==0 :
        for i in range (0, 3):
            forward(longueur)
            left(120)
    if n>0:
        sierpinski(n-1, longueur/2)
        forward(longueur/2)
        sierpinski(n-1, longueur/2)
        backward(longueur/2)
        left(60)
        forward(longueur/2)
        right(60)
        sierpinski(n-1, longueur/2)
        left(60)
        backward(longueur/2)
        right(60)
sierpinski(4,600)

Sortie

Spirale de Fibonacci

Entrée

🐍 Script Python

import turtle
import math

def fiboPlot(n):
    a = 0
    b = 1
    square_a = a
    square_b = b

    # Setting the colour of the plotting pen to blue
    x.pencolor("blue")

    # Drawing the first square
    x.forward(b * factor)
    x.left(90)
    x.forward(b * factor)
    x.left(90)
    x.forward(b * factor)
    x.left(90)
    x.forward(b * factor)

    # Proceeding in the Fibonacci Series
    temp = square_b
    square_b = square_b + square_a
    square_a = temp

    # Drawing the rest of the squares
    for i in range(1, n):
        x.backward(square_a * factor)
        x.right(90)
        x.forward(square_b * factor)
        x.left(90)
        x.forward(square_b * factor)
        x.left(90)
        x.forward(square_b * factor)

        # Proceeding in the Fibonacci Series
        temp = square_b
        square_b = square_b + square_a
        square_a = temp

    # Bringing the pen to starting point of the spiral plot
    x.penup()
    x.setposition(factor, 0)
    x.seth(0)
    x.pendown()

    # Setting the colour of the plotting pen to red
    x.pencolor("red")

    # Fibonacci Spiral Plot
    x.left(90)
    for i in range(n):
        print(b)
        fdwd = math.pi * b * factor / 2
        fdwd /= 90
        for j in range(90):
            x.forward(fdwd)
            x.left(1)
        temp = a
        a = b
        b = temp + b
            # Here 'factor' signifies the multiplicative
# factor which expands or shrinks the scale
# of the plot by a certain factor.
factor = 1

# Taking Input for the number of
# Iterations our Algorithm will run
n = int(input('Enter the number of iterations (must be > 1): '))

# Plotting the Fibonacci Spiral Fractal
# and printing the corresponding Fibonacci Number
if n > 0:
    print("Fibonacci series for", n, "elements :")
    x = turtle.Turtle()
    x.speed(100)
    fiboPlot(n)
    turtle.done()
else:
    print("Number of iterations must be > 0")

Sortie

Bonus : Fractale du mot Fibonacci :

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💻 Principaux logiciels

De nombreux programmes existent pour générer des fractales 2D ou 3D, cela étant la seule tâche que ces logiciels réalisent. Les principaux sont Fractint, Sterling ou XaoS.

De nombreux autres logiciels permettent de réaliser des fractales bien que ce ne soit pas le but premier.
Nous retrouvons dans cette catégories tous les logiciels proposant de passer par un langage de programmation pour réaliser son objet.

Les principaux logiciels proposant cette possibilité sont :
- Autocad : proposant l'utilisation du langage LISP
- Blender : proposant l'utilisation du Python
- FreeCAD : proposant l'utilisation du Python
- OpenSCAD: ayant son propre langage, sans nom officiel actuellement.

La plupart des logiciels vectoriels (Inkscape, Illustrator, CorelDraw, ...) proposent également maintenant des outils de fractalisation (Koch, système de Lindemayer, fractalisation de vecteur, ...)

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🌄 Paysages

La première image fractale destinée à être une œuvre d'art fut probablement la couverture du Scientific American en août 1985.

Cette image montrait un paysage formé de la fonction potentielle du domaine hors de l'ensemble de Mandelbrot habituel. Néanmoins, comme la fonction potentielle croît rapidement près de la limite de l'ensemble de Mandelbrot, il fut nécessaire pour le créateur de laisser le paysage grandir vers le bas, pour qu'il semble que l'ensemble est un plateau au sommet d'une montagne avec des flancs abrupts.
La même technique fut utilisée un an plus tard dans The Beauty of Fractals de Heinz-Otto Peitgen et Peter Richter. Ils fournirent une formule pour estimer la distance d'un point hors de l'ensemble de Mandelbrot à la limite de l'ensemble de Mandelbrot (et une formule similaire pour l'ensemble de Julia).
Des paysages peuvent, par exemple être formés par la fonction distance d'une famille d'itérations de la forme \(z^2 + az^4 + c\).

Exemples d'objets fractals dans la nature

Le chou romanescoLe flocon de neigeLa fougèreLa coquille d'escargot et les coquillages en généralLes feuillesLes tentatuculesL'iris

Exemples de paysage avec des caractéristiques de fractales

Le Lac Nasser en ÉgypteLe Grand Canyon en ArizonaNovaya Zemlya en Russie

=== "Le plateau tibétain et une partie de la chaîne de montagnes de l'Himalaya"

Parc National de Doñana en Andalousie en Espagne

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🎨 Artistes

Nom	Visage	Qui est-ce ?	Une oeuvre parmi d'autres	A savoir
William Latham (1961)		Artiste et chercheur britannique associant sensibilité artistique et démarche scientifique	ZapQ3 on the Plane of Infinity. Ray Traced (1991)	Il a utilisé la géométrie fractale et d'autres graphiques générés par ordinateur dans ses travaux. Connu pour son art organique pionnier créé à la fin des années 80 et au début des années 90 alors qu'il était chercheur à IBM à Winchester
Greg Sams (1948)		Artiste fractal, auteur et éditeur né aux USA mais ayant vécu en Angleterre		Il est connu pour avoir utilisé des images fractales dans des cartes postales, des T-shirts et des textiles. Il est un utilisateur de fauteuil roulant depuis qu'il est tombé d'un arbre alors qu'il était étudiant de première année à l'Université de Californie à Berkeley. Il a déménagé à Londres âgé de 19 ans.
Vicky Brago-Mitchell (1946)		Artiste américaine de fractale connue dans les années 60 comme étudiante à l'Université de Stanford	Eternal 3 (2009)	Elle a créé des œuvres d'art fractal qui sont apparues dans des expositions et sur des couvertures de magazines.
Scott Draves (1968)		L'inventeur des flammes fractales, leader du projet de calcul distribué Electric Sheep, video artiste américain et VJing accompli	Image venant de Electric Sheep	Son travail a été exposé au bureau de Google à New York en été 2010
Carlos Ginzburg (1946)		Artiste conceptuel et théoricien de l'Art fractaliste. Né en Argentine et ayant vécu en France	Récursivité-La Subjectivité fractale (2005)	Il a exploré l'art fractal et développé un concept appelé "homo fractalus" qui est basé sur l'idée que l'humain est la fractale ultime. Il a étudié la philosophie et les sciences sociales. Adhérent des premières heures du Mouvement "World Art"
Jean-Claude Meynard (1951-2019)		Artiste français qui utilise la géométrie fractale pour explorer la complexité du réel, ses univers proliférants et labyrinthiques, à travers des œuvres picturales, sculpturales et numériques	L'homme qui marche (2010)	Il est signataire avec Carlos Ginzburg du Manifeste fractaliste publié par la revue Art Press en 1997. Il crée aussi, selon le processus de réplication fractale, des bouleversements architecturaux nommés: "Demeures Fractales". Éphémères par destination, elles ont fait l'objet de nombreux films dont un majeur : "L'Escalier Fractal - un Manifeste Fractal". Dans son dernier livre, il propose de reconfigurer, avec la géométrie fractale comme outil de connaissance, notre vision du monde

L'artiste amériacin Kerry Mitchell a écrit un Manifeste de l'art fractal, déclarant que

« L'art fractal est un sous-groupe de l'art visuel bidimensionnel et est similaire en beaucoup d'aspects à la photographie, une autre forme d'art qui a été accueillie avec beaucoup de scepticisme à ses débuts. Les images fractales sont la plupart du temps imprimées, ce qui amène l'artiste fractal au même niveau que les peintres, les photographes et les graveurs. Les fractales existent nativement en tant qu'images électroniques. C'est un format que les artistes visuels traditionnels embrassent de plus en plus, ce qui les amène vers le monde digital de l'art fractal. Générer des fractales peut aussi être une tentative artistique, une recherche mathématique, ou juste une distraction. Néanmoins, l'art fractal est clairement différent des autres activités digitales de par ce qu'il est, et de par ce qu'il n'est pas. »

Selon Mitchell, l'art fractal n'est pas un art seulement automatisé par ordinateur, qui manque de règle, imprévisible ou quelque chose que n'importe accédant à un ordinateur peut faire bien. Mais il considère l'art fractal comme expressif, créatif, et demandant une entrée, un effort et une intelligence.

Mais plus important : « l'art fractal est simplement ce qui est créé par les artistes fractals : de l'ART. »

En 1982, la société Industrial Light & Magic (société fondée par réalisateur, scénariste et producteur américain George Lucas) a utilisé pour la première fois des fractales générées par ordinateur dans un film :
"Star Trek 2 : La Colère de Khan" afin de créer différents décors du film.