Les fonctions polynomes du second degrés⚓︎
équation du second degré⚓︎
qu'est ce que c'est qu'un polynome du second degré ?
On appelle fonction polynome du second degré toute fonction qui s'écrit pour \(x \in \mathbb R\) :
\(a\), \(b\), \(c\) sont des réel avec \(a \neq 0\)
Toutes solutions de l'équation \(ax^{2} + bx + c = 0\) est appellées "racine" du polynome
voici un croquis de sa représentation graphique
Qu'est ce qu'un discriminant et comment le calcule t-on ?
Selon la valeur du discriminant noté \(\Delta\) , nous pourront savoir le nombre de racines d'une quelconque équation du second degré
exemple
-
Voici une équation du second degré : \(2x^{2} + x + 5 = 0\)
-
On définit les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) du polynôme :
- \(a = 2\) , \(b = 1\) , \(c = 5\)
-
Pour calculer le discriminant il faut appliquer sa formule \(\Delta = b^{2} - 4\times a\times c\)
-
Donc : \(\begin{align*} \Delta &= 1^{2} - 4\times 2\times 5 \\ &= 1 - 40 \\ &= -39 \end{align*}\)
-
Le discriminant est égal à \(-39\)
Une fois le discriminant calculé, on peut savoir le nombre de solution du polynome :
Il n'y a aucune solution pour l'equation du second degré.
Il y a une solution pour l'equation du second degré :
- solution : \(x_{0} = \dfrac{-b}{2a}\)
Il y a deux solutions pour l'equation du second degré :
-
solution 1 : \(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
-
solution 2 : \(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Coté Informatique 💻
-
voici une petite fonction en python pour calculer un discriminant
🐍 Script Pythondef discriminant(a,b,c): delta = b**2 - 4*a*c return delta
-
Voici un scrip pour résoudre une équation du second degré :
Inéquation du second degré⚓︎
qu'est ce que c'est une inequation du second degré
Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation qui peut se mettre sous l’une des quatre formes suivantes :
- \(ax^{2}+bx+c < 0\)
- \(ax^{2}+bx+c\leq 0\)
- \(ax^{2}+bx+c\geq 0\)
- \(ax^{2}+bx+c > 0\)
avec \(a \neq 0\)
Raccourcis clavier
- On peut écrire \(\leq\) avec le raccourci clavier Alt+,
- On peut écrire \(\geq\) avec le raccourci clavier Alt+.
resoudre une inequation du second degré
Pour resoudre une inequation du second degré il faut:
- Calculer le discriminant pour trouver les solution du polynome comme si il n'etait pas une inequation
- Repérer le signe de \(a\) pour savoir quel signe mettre dans le tableau:
- Dresser un tableau des signes pour trouver les bonnes solution par rapport au signe de l'inequation
on peux discerner 3 cas
Si \(\Delta < 0\)
- si \(a < 0\) en noir
- si \(a > 0\) en rouge
Si \(\Delta = 0\)
- si \(a < 0\) en noir
- si \(a > 0\) en rouge
Si \(\Delta > 0\)
- si \(a < 0\) en noir
- si \(a > 0\) en rouge
Par la suite il faudra observer le signe de l'inequation (\(<\),\(>\),\(\leq\),\(\geq\)) pour savoir quand est ce que \(F(x)\) est positif ou négatif
exemple
- Voici une inequation \(5x^{2}+8x+3 > 0\) nous chercherons ses solutions si elle en a.
- Premièrement : calculer le discriminant \(\begin{align*} \Delta &= 8^{2} - 4\times 5\times 3 \\ &= 64 - 60 \\ &= 4 \end{align*}\)
- Puisque \(\Delta > 0\) l'equation possède deux solution \(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)
- Apres calcul on trouve : \(x_{1} = -1\) et \(x_{2} = - \dfrac{3}{5}\)
-
Puisque qu'on sait que \(a\) est positif et que \(\Delta > 0\) on peut donc établir un tableau de signe :
-
Le signe de l'inquation est : "\(>\)" donc on cherche que quand \(x\) est strictement superieur a \(0\) c'est a dire : \(S \in ] - \infty ; -1 [ \cap ] - \dfrac{3}{5} ; + \infty [\)
une petite video avec un autre exemple
Les trois formes d'un poynome du second degré⚓︎
Il existe trois formes pour un polynome du second degré
La forme polynominale
La forme factorisée
Quand \(\Delta > 0\) | Quand \(\Delta = 0\) | Quand \(\Delta < 0\) |
---|---|---|
\(a(x-x_{1})(x-x_{2})\) | \(a(x-x_{0})\) | On ne peut pas |
La forme canonique
comment calculer \(\alpha\) ?
\(\alpha = \dfrac{-b}{2a}\)
comment calculer \(\beta\) ?
\(\beta = \begin{cases} f(\alpha)\\ \\ \dfrac{- \Delta}{4a}\end{cases}\)
\(S(\alpha ; \beta)\) est le sommet de la parrabolle
Tableau de variation⚓︎
Si \(a > 0\)
si \(a < 0\)
-
La representation graphique sera une parabole, voir des exemple ↩
-
La representation graphique sera une parabole inversé ↩