Les fonctions polynomes du second degrés⚓︎

équation du second degré⚓︎

qu'est ce que c'est qu'un polynome du second degré ?

On appelle fonction polynome du second degré toute fonction qui s'écrit pour \(x \in \mathbb R\) :

\[f(x) = ax^{2} + bx + c\]

\(a\), \(b\), \(c\) sont des réel avec \(a \neq 0\)

Toutes solutions de l'équation \(ax^{2} + bx + c = 0\) est appellées "racine" du polynome

voici un croquis de sa représentation graphique

graphique equation du second degré

Qu'est ce qu'un discriminant et comment le calcule t-on ?

Selon la valeur du discriminant noté \(\Delta\) , nous pourront savoir le nombre de racines d'une quelconque équation du second degré

\[ \Delta = b^{2} - 4\times a\times c\]

exemple

Voici une équation du second degré : \(2x^{2} + x + 5 = 0\)
On définit les coefficients \(a\), \(b\) et \(c\) du polynôme :
- \(a = 2\) , \(b = 1\) , \(c = 5\)
Pour calculer le discriminant il faut appliquer sa formule \(\Delta = b^{2} - 4\times a\times c\)
Donc : \(\begin{align*} \Delta &= 1^{2} - 4\times 2\times 5 \\ &= 1 - 40 \\ &= -39 \end{align*}\)
Le discriminant est égal à \(-39\)

Une fois le discriminant calculé, on peut savoir le nombre de solution du polynome :

si \(\Delta < 0\)si \(\Delta = 0\)si \(\Delta > 0\)

Il n'y a aucune solution pour l'equation du second degré.

\[S\in \emptyset\]

Il y a une solution pour l'equation du second degré :

solution : \(x_{0} = \dfrac{-b}{2a}\)

Il y a deux solutions pour l'equation du second degré :

solution 1 : \(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\)
solution 2 : \(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)

Coté Informatique 💻

voici une petite fonction en python pour calculer un discriminant
🐍 Script Python
```
def discriminant(a,b,c):
    delta = b**2 - 4*a*c
    return delta
```
Voici un scrip pour résoudre une équation du second degré :

script

Inéquation du second degré⚓︎

qu'est ce que c'est une inequation du second degré

Une inéquation du second degré à une inconnue est une inéquation qui peut se mettre sous l’une des quatre formes suivantes :

\(ax^{2}+bx+c < 0\)
\(ax^{2}+bx+c\leq 0\)
\(ax^{2}+bx+c\geq 0\)
\(ax^{2}+bx+c > 0\)

avec \(a \neq 0\)

Raccourcis clavier

On peut écrire \(\leq\) avec le raccourci clavier Alt＋,
On peut écrire \(\geq\) avec le raccourci clavier Alt＋.

resoudre une inequation du second degré

Pour resoudre une inequation du second degré il faut:

Calculer le discriminant pour trouver les solution du polynome comme si il n'etait pas une inequation
Repérer le signe de \(a\) pour savoir quel signe mettre dans le tableau:
- si \(a\) est positif la representation graphique sera en forme \(U\)¹
- si \(a\) est negatif la representation graphique sera en forme \(\cap\)²
Dresser un tableau des signes pour trouver les bonnes solution par rapport au signe de l'inequation

on peux discerner 3 cas

Cas 1Cas 2Cas 3

Si \(\Delta < 0\)

si \(a < 0\) en noir
si \(a > 0\) en rouge

cas 1

Si \(\Delta = 0\)

si \(a < 0\) en noir
si \(a > 0\) en rouge

cas 2

Si \(\Delta > 0\)

si \(a < 0\) en noir
si \(a > 0\) en rouge

cas 3

Par la suite il faudra observer le signe de l'inequation (\(<\),\(>\),\(\leq\),\(\geq\)) pour savoir quand est ce que \(F(x)\) est positif ou négatif

exemple

Voici une inequation \(5x^{2}+8x+3 > 0\) nous chercherons ses solutions si elle en a.
Premièrement : calculer le discriminant \(\begin{align*} \Delta &= 8^{2} - 4\times 5\times 3 \\ &= 64 - 60 \\ &= 4 \end{align*}\)
Puisque \(\Delta > 0\) l'equation possède deux solution \(x_{1} = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\) et \(x_{2} = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Apres calcul on trouve : \(x_{1} = -1\) et \(x_{2} = - \dfrac{3}{5}\)
Puisque qu'on sait que \(a\) est positif et que \(\Delta > 0\) on peut donc établir un tableau de signe :
Le signe de l'inquation est : "\(>\)" donc on cherche que quand \(x\) est strictement superieur a \(0\) c'est a dire : \(S \in ] - \infty ; -1 [ \cap ] - \dfrac{3}{5} ; + \infty [\)

une petite video avec un autre exemple

Les trois formes d'un poynome du second degré⚓︎

Il existe trois formes pour un polynome du second degré

Forme 1Forme 2Forme 3

La forme polynominale

\[ax^{2}+bx+c\]

La forme factorisée

Quand \(\Delta > 0\)	Quand \(\Delta = 0\)	Quand \(\Delta < 0\)
\(a(x-x_{1})(x-x_{2})\)	\(a(x-x_{0})\)	On ne peut pas

La forme canonique

\[ a(x- \alpha )^{2} + \beta \]

comment calculer \(\alpha\) ?

\(\alpha = \dfrac{-b}{2a}\)

comment calculer \(\beta\) ?

\(\beta = \begin{cases} f(\alpha)\\ \\ \dfrac{- \Delta}{4a}\end{cases}\)

\(S(\alpha ; \beta)\) est le sommet de la parrabolle

Tableau de variation⚓︎

Si \(a > 0\)

un tableau de variation

si \(a < 0\)

un deuxième tableau de variation

La representation graphique sera une parabole, voir des exemple ↩
La representation graphique sera une parabole inversé ↩